waystring 님의 블로그

궁극적으로 아래 문제를 해결해 보겠다.임의의 자연수 $n, m$에 대해 $$\sum_{x=1}^{n}\prod_{y=0}^{m}(x+y)=\frac{1}{m+2}\prod_{x=0}^{m+1}(x+n)$$가 항상 성립함을 증명하여라.두 가지 방법으로 증명해 보겠다.수학적 귀납법별로 좋아하는 방법은 아니지만 현실적으로 시험이나 타임어택이라면 가장 성공률이 높은 방법이다. 먼저 $n=1$인 경우 좌변은 $(m+1)!$이고, 우변이 $\displaystyle \frac{1}{m+2} \times (m+2)!=(m+1)!$여서 성립한다. $n=k$일때 성립한다 가정하고 $n=k+1$일 때 성립함을 증명하면 된다. $$\sum_{x=1}^{k+1}\prod_{y=0}^{m}(x+y)=\sum_{x=1}^{k}\p..

궁극적으로 다음 문제를 해결해 보겠다(내가 만듦).임의 자연수 $n$에 대해 $$\sum_{i_{1}=1}^{n} \sum_{i_{2}=1}^{i_{1}} \sum_{i_{3}=1}^{i_{2}} \cdots \sum_{i_{100}=1}^{i_{99}} a_{i_{100}} = 1$$를 항상 만족시키는 수열 $a_{i}$가 있다. $a_{98}$을 구하여라.보통 시그마가 100개 중첩된 것은 처음 보는 형식이라서 감도 안 온다. 사실 이전 글에서 설명한 시그마 역연산을 이용해 시그마 100개를 하나씩 하나씩 제거하면 된다(물론 규칙이 나온다). 먼저 다음과 같은 수열을 정의하자. $$\sum_{i_{1}=1}^{n} \sum_{i_{2}=1}^{i_{1}} \sum_{i_{3}=1}^{i_{2}} \c..